Elasticity/Constitutive example 4

Example 4
 Given:

A monoclinic crystal has inversion symmetric about the $$\widehat{\mathbf{e}}_{1}$$-$$\widehat{\mathbf{e}}_{2}$$ plane. Therefore, the material properties do not change for a mirror-reflection through this plane. The stress-strain relations must therefore remain unchanged under this transformation. The transformation matrix $$\left[L\right]\,$$ for this for the mirror inversion is given by
 * $$ \left[L\right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1

\end{bmatrix} $$

 Show:

If we apply this transformation to the stress and strain tensors, then the stiffness matrix of the material (in Voigt notation) is

\left[C\right] = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & 0 & 0 & C_{36} \\ 0     & 0      & 0      & C_{44} & C_{45} & 0 \\ 0     & 0      & 0      & C_{54} & C_{55} & 0 \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & 0 & 0 & C_{66} \\ \end{bmatrix} $$

Solution
In 3$$\times$$3 matrix form, the strain tensor is given by

\boldsymbol{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} $$ The transformation rule for a second order tensor $$\boldsymbol{A}\,$$ is

\left[A\right]^{'} = \left[L\right] \left[A\right] \left[L\right]^{T} $$ Applying this transformation to the strain tensor, we have
 * $$\begin{align}

\begin{bmatrix} \varepsilon_{11}^{'} & \varepsilon_{12}^{'} & \varepsilon_{13}^{'} \\ \varepsilon_{21}^{'} & \varepsilon_{22}^{'} & \varepsilon_{23}^{'} \\ \varepsilon_{31}^{'} & \varepsilon_{32}^{'} & \varepsilon_{33}^{'} \end{bmatrix} & =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\ & =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & -\varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & -\varepsilon_{33} \end{bmatrix} \\ & =  \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & -\varepsilon_{23} \\ -\varepsilon_{31} & -\varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} \end{align}$$ In engineering notation (Voigt notation),
 * $$\begin{align}

\left[\boldsymbol{\varepsilon}\right] & = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{33} & 2\varepsilon_{23} & 2\varepsilon_{31} & 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}^{T} \\ & = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \varepsilon_{3} & \varepsilon_{4} & \varepsilon_{5} & \varepsilon_{6} \end{bmatrix}^{T} \end{align}$$ Therefore, the transformed strain tensor can be written as
 * $$\begin{align}

\left[\boldsymbol{\varepsilon}\right]^{'} & = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1}^{'} & \varepsilon_{2}^{'} & \varepsilon_{3}^{'} & \varepsilon_{4}^{'} & \varepsilon_{5}^{'} & \varepsilon_{6}^{'} \end{bmatrix}^{T} \\ & = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \varepsilon_{3} & -\varepsilon_{4} & -\varepsilon_{5} & \varepsilon_{6} \end{bmatrix}^{T} \\ \end{align}$$ The expression for the strain energy density of a linear elastic material imposes a constraint on the components of the stiffness tensor in the presence of planes of material symmetry. This constraint is

C_{ij} (\varepsilon_i \varepsilon_j - \varepsilon_i^{'} \varepsilon_j^{'}) = 0 ~(i,j = 1\dots 6) $$ where $$C_{ij}$$ are the components of the 6$$\times$$6 matrix that contains the independent components of the stiffness tensor.

Therefore,
 * $$\begin{align}

C_{11} (\varepsilon_1 \varepsilon_1 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{12} (\varepsilon_1 \varepsilon_2 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{13} (\varepsilon_1 \varepsilon_3 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{14} (\varepsilon_1 \varepsilon_4 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{15} (\varepsilon_1 \varepsilon_5 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{16} (\varepsilon_1 \varepsilon_6 - \varepsilon_1^{'} \varepsilon_6^{'}) & + \\ C_{21} (\varepsilon_2 \varepsilon_1 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{22} (\varepsilon_2 \varepsilon_2 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{23} (\varepsilon_2 \varepsilon_3 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{24} (\varepsilon_2 \varepsilon_4 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{25} (\varepsilon_2 \varepsilon_5 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{26} (\varepsilon_2 \varepsilon_6 - \varepsilon_2^{'} \varepsilon_6^{'}) & + \\ C_{31} (\varepsilon_3 \varepsilon_1 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{32} (\varepsilon_3 \varepsilon_2 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{33} (\varepsilon_3 \varepsilon_3 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{34} (\varepsilon_3 \varepsilon_4 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{35} (\varepsilon_3 \varepsilon_5 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{36} (\varepsilon_3 \varepsilon_6 - \varepsilon_3^{'} \varepsilon_6^{'}) & + \\ C_{41} (\varepsilon_4 \varepsilon_1 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{42} (\varepsilon_4 \varepsilon_2 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{43} (\varepsilon_4 \varepsilon_3 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{44} (\varepsilon_4 \varepsilon_4 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{45} (\varepsilon_4 \varepsilon_5 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{46} (\varepsilon_4 \varepsilon_6 - \varepsilon_4^{'} \varepsilon_6^{'}) & + \\ C_{51} (\varepsilon_5 \varepsilon_1 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{52} (\varepsilon_5 \varepsilon_2 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{53} (\varepsilon_5 \varepsilon_3 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{54} (\varepsilon_5 \varepsilon_4 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{55} (\varepsilon_5 \varepsilon_5 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{56} (\varepsilon_5 \varepsilon_6 - \varepsilon_5^{'} \varepsilon_6^{'}) & + \\ C_{61} (\varepsilon_6 \varepsilon_1 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_1^{'}) + C_{62} (\varepsilon_6 \varepsilon_2 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_2^{'}) + C_{63} (\varepsilon_6 \varepsilon_3 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_3^{'}) & + \\ C_{64} (\varepsilon_6 \varepsilon_4 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_4^{'}) + C_{65} (\varepsilon_6 \varepsilon_5 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_5^{'}) + C_{66} (\varepsilon_6 \varepsilon_6 - \varepsilon_6^{'} \varepsilon_6^{'}) & = 0 \end{align}$$ For a monoclinic material, replacing the transformed strain components by the equivalent original strain components, we get
 * $$\begin{align}

C_{14} (\varepsilon_1 \varepsilon_4 + \varepsilon_1 \varepsilon_4) + C_{15} (\varepsilon_1 \varepsilon_5 + \varepsilon_1 \varepsilon_5) + C_{24} (\varepsilon_2 \varepsilon_4 + \varepsilon_2 \varepsilon_4) & + \\ C_{25} (\varepsilon_2 \varepsilon_5 + \varepsilon_2 \varepsilon_5) + C_{34} (\varepsilon_3 \varepsilon_4 + \varepsilon_3 \varepsilon_4) + C_{35} (\varepsilon_3 \varepsilon_5 + \varepsilon_3 \varepsilon_5) & + \\ C_{41} (\varepsilon_4 \varepsilon_1 + \varepsilon_4 \varepsilon_1) + C_{42} (\varepsilon_4 \varepsilon_2 + \varepsilon_4 \varepsilon_2) + C_{43} (\varepsilon_4 \varepsilon_3 + \varepsilon_4 \varepsilon_3) & + \\ C_{46} (\varepsilon_4 \varepsilon_6 + \varepsilon_4 \varepsilon_6) + C_{51} (\varepsilon_5 \varepsilon_1 + \varepsilon_5 \varepsilon_1) + C_{52} (\varepsilon_5 \varepsilon_2 + \varepsilon_5 \varepsilon_2) & + \\ C_{53} (\varepsilon_5 \varepsilon_3 + \varepsilon_5 \varepsilon_3) + C_{56} (\varepsilon_5 \varepsilon_6 + \varepsilon_5 \varepsilon_6) + C_{64} (\varepsilon_6 \varepsilon_4 + \varepsilon_6 \varepsilon_4) & + \\ C_{65} (\varepsilon_6 \varepsilon_5 + \varepsilon_6 \varepsilon_5) & = 0 \end{align}$$ or,
 * $$\begin{align}

2~C_{14} \varepsilon_1 \varepsilon_4 + 2~C_{15} \varepsilon_1 \varepsilon_5 + 2~C_{24} \varepsilon_2 \varepsilon_4 + 2~C_{25} \varepsilon_2 \varepsilon_5 + 2~C_{34} \varepsilon_3 \varepsilon_4 + 2~C_{35} \varepsilon_3 \varepsilon_5 & + \\ 2~C_{41} \varepsilon_4 \varepsilon_1 + 2~C_{42} \varepsilon_4 \varepsilon_2 + 2~C_{43} \varepsilon_4 \varepsilon_3 + 2~C_{46} \varepsilon_4 \varepsilon_6 + 2~C_{51} \varepsilon_5 \varepsilon_1 + 2~C_{52} \varepsilon_5 \varepsilon_2 & + \\ 2~C_{53} \varepsilon_5 \varepsilon_3 + 2~C_{56} \varepsilon_5 \varepsilon_6 + 2~C_{64} \varepsilon_6 \varepsilon_4 + 2~C_{65} \varepsilon_6 \varepsilon_5 & = 0 \end{align}$$ Using the symmetry of the stiffness matrix, we have
 * $$\begin{align}

4~C_{14} \varepsilon_1 \varepsilon_4 + 4~C_{15} \varepsilon_1 \varepsilon_5 + 4~C_{24} \varepsilon_2 \varepsilon_4 + 4~C_{25} \varepsilon_2 \varepsilon_5 + 4~C_{34} \varepsilon_3 \varepsilon_4 + 4~C_{35} \varepsilon_3 \varepsilon_5 &+ \\ 4~C_{46} \varepsilon_4 \varepsilon_6 + 4~C_{56} \varepsilon_5 \varepsilon_6 & = 0 \end{align}$$ Since the strains can be arbitrary, the above condition is satisfied only if

C_{14} = C_{15} = C_{24} = C_{25} = C_{34} = C_{35} = C_{46} = C_{56} = 0 $$ Therefore, the stiffness matrix is given by

\left[C\right] = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & 0 & 0 & C_{36} \\ 0     & 0      & 0      & C_{44} & C_{45} & 0 \\ 0     & 0      & 0      & C_{54} & C_{55} & 0 \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & 0 & 0 & C_{66} \\ \end{bmatrix} $$ Hence shown.