Hilbert Book Model Project/Dirac Equation/de

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= Die Dirac-Gleichung = In ihrer ursprünglichen Form ist die Dirac-Gleichung eine komplexe Gleichung, die Spinoren, Matrizen und partielle Ableitungen verwendet.

Dirac suchte nach einer Spaltung der Klein-Gordon-Gleichung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung.

Hier ist $$\Box$$ die d’Alembert Operator.

Dirac benutzte eine Kombination von Matrizen und Spinoren, um dieses Ergebnis zu erreichen. Er wandte die Pauli-Matrizen an, um das Verhalten von Vektorfunktionen unter Differenzierung zu simulieren.

Die Einheitsmatrix $$I$$ und die Pauli Matrizen Sind gegeben durch:

Für eine der potentiellen Ordnungen des quaternionischen Zahlensystems beziehen die Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix $$I $$ sich auf die quaternionischen Basisvektoren $$1, \vec{i},\vec{j},\vec{k} $$.

Statt der üblichen $$\left \{ \frac{\partial{}}{\partial{\tau}},\vec{i}\frac{\partial{}}{\partial{x}},\vec{j}\frac{\partial{}}{\partial{y}},\vec{k}\frac{\partial{}}{\partial{z}} \right \}$$ Wollen wir die Operatoren $$\nabla=\{\nabla_r,\vec{\nabla}\}$$ benutzen.

Der Index $$_r$$ zeigt den Skalarteil an. Der Operator $$\nabla$$ bezieht sich auf den angewandten Parameterraum. Dies bedeutet, dass der Parameterraum auch aus Kombinationen $$q=\{q_r,\vec{q}\}$$ von eines Skalars $$q_r$$ und einen Vektor $$\vec{q}$$ konfiguriert ist. Auch die Funktionen $$f=\{f_r,\vec{f}\}$$ können in skalaren Funktionen $$f_r$$ und Vektorfunktionen $$\vec{f}$$ aufgeteilt werden.

Die unterschiedlichen Sortiermöglichkeiten des quaternionischen Zahlensystems entsprechen verschiedenen Symmetrie-Aromen. Die Hälfte dieser Möglichkeiten bietet ein rechtshändiges externes Vektorprodukt. Die andere Hälfte bietet ein linkshändiges externes Vektorprodukt an.

Die Pauli-Matrizen implementieren das Cross-Produkt-Verhalten dreidimensionaler Vektoren. Eine 4X4 dimensionale Matrix kann die Wahl zwischen rechtshändigem und linkshändigem Vektorprodukt implementieren.

Wir werden den Impulsoperator verwenden, um den Nabla-Operator zu repräsentieren:

Diese beiden Gleichungen verbergen die Tatsache, dass das Kreuzprodukt richtig oder linkshändig sein kann.

Das entspricht also der Klein-Gordon-Gleichung wenn

Wir können diese in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung aufteilen.

Ähnlich

Diracs Ansatz
Die ursprüngliche Dirac-Gleichung verwendet 4x4 Matrizen $$\vec{\alpha}$$ und $$\beta$$.

$$\vec{\alpha}$$  und $$\beta$$ sind Matrizen, die das quaternionische arithmetische Verhalten implementieren, einschließlich der möglichen Symmetrie-Aromen von quaternionischen Zahlensystemen und Kontinuums.

Die Interpretation der Pauli-Matrizen als Darstellung einer besonderen Art von Drehimpuls hat zu dem halb-integer-Eigenwert des entsprechenden Spinoperators geführt.

Die Auswahl von Dirac führt zu

$$[\varphi]$$ ist ein Vier-Komponenten-Spinor.

Diese Gleichung teilt sich nicht in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung auf. Mit gamma Matrizen wird das geheilt.

Diesmal ist $$[\varphi]$$ ein zweikomponentiger Spinor. Die Gleichung teilt sich in

Die Spinoren $\varphi_A$ und $\varphi_B$  sind keine quaternionischen Felder. Stattdessen sind sie Kombinationen von Feldern, die unterschiedliche Symmetrie zeigen. Die Felder unterscheiden sich in der Weise, dass sie die Richtung der Progression behandeln.

Die Spinoren $\varphi_1$, $\varphi_2$ , $\varphi_3$ ,und $\varphi_4$ unterscheiden sich auch in der rechten oder linkshändigen Behandlung des Kreuzproduktes. Auf diese Weise bilden sie vier verschiedene Kombinationen von Behandlung von Fortschritt und die Handlichkeit des Kreuzprodukts.

Die Symmetrie-Aromen der Parameterräume kombinieren 16 verschiedene Symmetrie-Aromen. Diese Unterschiede decken die vier Unterschiede der Spinoren ab. Die Spinoren können keine Anisotropie repräsentieren.

Interpretation
Nach der konventionellen Physik teilt der Split die Klein-Gordon-Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Elektronen- und eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Positronen ein. Diese Gleichungen sind jedoch keine quaternionischen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Stattdessen teilt die Gleichung

sich in zwei quaternionische partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

In der konventionellen Physik hat diese Gleichung noch keine richtige Interpretation gefunden.