Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/Fourier Transform/de

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= Fourier Transformation =

Fourier Räume
In einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum erreicht eine Fourier-Transformation eine vollständige Transformation einer alten orthonormalen Basis $$\{|q\rangle\}$$ zu einer anderen orthonormalen Basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$, so dass keiner der neuen Basenvektoren als eine lineare Kombination geschrieben werden kann, die nicht alle alten Basenvektoren enthält.

Der Basisvektor $$|q\rangle$$ ist Egenvektor eines normalen Operators $$|q\rangle\,q \,\langle q|$$ mit Eigenwerten $$\{q\}$$. Basis $$\{|q\rangle\}$$ ist orthonormal.

$$\langle q|q' \rangle=\delta(q-q')$$

Ähnlich ist der Basisvektor  $$|\tilde{q}\rangle$$ Eigenvektor eines normalen Operators $$|\tilde{q}\rangle\,\tilde{q} \,\langle \tilde{q}|$$ mit Eigenwerten $$\{\tilde{q}\}$$. Basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ ist orthonormal.

$$\langle \tilde{q}|\tilde{q}' \rangle=\delta(\tilde{q}-\tilde{q}')$$

Das innere Produkt $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$ Ist eine Funktion beider $$q$$ und $$\tilde{q}$$ Koordinaten.

Denken Sie daran, diese Funktion $$f(q)$$ kann in Bezug auf eine orthonormale Basis $$\{|q\rangle\}$$ und operator $$f$$ dargestellt werden wie

$$f(q)=\langle q|f\, q\rangle$$

$$\tilde{f}(\tilde{q})=\langle \tilde{q}|\tilde{f}\, \tilde{q}\rangle$$

$$f(q) \Leftarrow \mathfrak{F}\Rightarrow \tilde{f}(\tilde{q})$$

$$f=|q\rangle\,f(q) \,\langle q|$$

$$\tilde{f}=|\tilde{q}\rangle\,\tilde{f}(\tilde{q}) \,\langle \tilde{q}|$$

$$\mathfrak{R}=|q\rangle\,q \,\langle q|$$

$$\tilde{\mathfrak{R}}=|\tilde{q}\rangle\,\tilde{q} \,\langle \tilde{q}|=|q\rangle\,\tilde{\mathfrak{R}}(q) \,\langle q|$$

Diese Gleichungen beschreiben Fourier-Transformationspaare $$\{f,\tilde{f}\}$$ und das gleiche Kontinuum $$\breve{f}$$. das Kontinuum $$\breve{f}$$ wird durch $$f(q)$$ dargestellt als auch von $$\tilde{f}(\tilde{q})$$ und diese Funktionen entsprechen jeweils den Operatoren $$f$$ und $$\tilde{f}$$. Damit $$f(q)$$ and $$\tilde{f}(\tilde{q})$$ Beschreiben dasselbe, was das Kontinuum $$\breve{f}$$ ist.

Das innere Produkt  $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$Ist eine Funktion, die die folgenden Folgerungen erfüllt.
 * Faltung der Funktionen in der alten Basis $$\{|q\rangle\}$$ Darstellung wird Multiplikation in der neuen Basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ Darstellung.
 * Ähnlich ist die Faltung der Funktionen in der neuen Basis  $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ Darstellung wird Multiplikation in der alten Basis $$\{|q\rangle\}$$ Darstellung.
 * Die Differenzierung in der alten Basisdarstellung wird durch die neue Koordinate in der neuen Basisdarstellung multipliziert.
 * Ähnlich wird die Differenzierung in der neuen Basisdarstellung durch die alte Koordinate in der alten Basisdarstellung multipliziert

Innere Produkte
Erinnere dich daran

$$\langle \alpha x | y\rangle=\alpha^* \langle x | y\rangle

$$

$$\langle x | \beta \,y\rangle=\langle x | y\rangle\,\beta

$$

Komplexe Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation ist für komplexe Funktionen gut etabliert. Wir werden dieses Wissen durch die Einrichtung komplexer Parameterräume innerhalb des quaternionischen Hintergrundparameterraums anwenden

Wenn ein $$x$$ Achse entlang des normalisierten Vektors $$\vec{n}$$ durch den quaternionischen Hintergrundparameterraum gezeichnet wird gilt

$$\tilde{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi \vec{n} x \xi}\,dx$$

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(\xi)\ e^{2 \pi \vec{n} \xi x}\,d\xi$$

Hier spielt $$x$$ Spielt die Rolle des Parameters $$q$$ entlang Richtung $$\vec{n}$$ und spielt $$\xi$$ die Rolle des Parameters $$\tilde{q}$$ entlang Richtung $$\vec{n}$$. Vektor $$\vec{n}$$ Kann in einer beliebigen Richtung aufgenommen werden und kann an einer beliebigen Stelle im quaternionischen Hintergrundparameterraum beginnen.

Das innere Produkt $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$ bezieht sich auf eine zwei parametrische Funktion, die entlang der Richtung $$\vec{n}$$ die Funktion $$\langle x\vec{n}|\xi\vec{n}\rangle=\exp(2\pi x \vec{n}\xi)$$ entspricht.

Hier sind $$f(x)$$ und $$\tilde f(\xi)$$ komplexe Funktionen mit komplexer imaginärer Basiszahl $$\vec{n}$$.

Quaternionische Fourier Transformation
Im Allgemeinen muss die Spezifikation des quaternionischen Fourier mit der nicht-kommutierende Multiplikation von quaternionischen Funktionen umgehen.

$$\langle x|{\color{Blue}{\tilde{f}}} y \rangle= \int\limits_{\tilde{q}} \langle x\color{Red}{|\tilde{q}\rangle }{\color{Blue}{\left\{\int\limits_{q}\langle \tilde{q}|q\rangle f(q) \langle q|\tilde{q}\rangle \, dq\right\}}} {\color{Red}{\langle \tilde{q}|}}\color{Black}{y\rangle\, d \tilde{q}} = \int\limits_{\tilde{q}} \langle x\color{Red}{|\tilde{q}\rangle } {\color{Blue}{\tilde{f}(\tilde{q})}}\langle \tilde{q}|\color{Black}{y\rangle\, d \tilde{q}}$$

$$\tilde{f}(\tilde{q})=\int\limits_{q}\langle \tilde{q}|q\rangle f(q) \langle q|\tilde{q}\rangle \, dq$$

Wir sehen in den Formeln, dass diese Methode lediglich eine Rotation von Parameterräumen und Funktionen erreicht. In der komplexen Zahl basierte Hilbert Raum, würde es überhaupt keine Veränderung zu erreichen.

Die Fourier-Transformation installiert nur eine partielle Rotation. Dies führt zu links und rechts orientierten Fourier Transformationen.

Links orientierte Fourier Transformation
Die linksorientierte Fourier-Transformation $$\mathfrak{F}_L$$ Hat eine umgekehrte $$\mathfrak{F}_L^{-1}$$.

$$\tilde{f}=\mathfrak{F}_L(f)=|\tilde{q}\rangle\,\mathfrak{F}_L(f)(\tilde{q}) \,\langle \tilde{q}|$$

$$f=\mathfrak{F}_L^{-1}(\tilde{f})$$

Die linksorientierte Fourier Transformation ist definiert durch:

$$\tilde{f}_L(\tilde{q}_L)=\int\limits_{q} \langle \tilde{q}_L|q\rangle f(q)\, dq =\int\limits_{q} \langle \tilde{q}_L| f(q)\,q\rangle\, dq$$

Für zwei Mitglieder $$|q\rangle$$ und $$|q'\rangle$$ einer orthonormalen Basis $$\{|q\rangle\}$$ Hält

$$\langle q|q'\rangle=\delta(q-q')$$

Für zwei Mitglieder $$|\tilde{q}_L\rangle$$ and $$|\tilde{q}'_L\rangle$$ einer orthonormalen Basis $$\{|\tilde{q}_L\rangle\}$$ Hält

$$\langle \tilde{q}_L|\tilde{q}_L'\rangle=\delta(\tilde{q}_L-\tilde{q}_L')$$

$$\int_{\tilde{q}_L} \langle q'|\tilde{q}_L\rangle\langle\tilde{q}_L|q\rangle \,d\tilde{q}_L=\delta(q-q')$$

$$\int_{q} \langle \tilde{q}'_L|q\rangle\langle q|\tilde{q}_L\rangle \,dq=\delta(\tilde{q}_L-\tilde{q}'_L)$$

Die umgekehrte Transformation ist gegeben durch

$$f(q)=\int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{q}_L\rangle \tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}}\langle q|\tilde{q}_L\rangle\int_{q'}\langle\tilde{q}_L|q'\rangle f(q')\, dq'\, d\tilde{q}_L = \int_{q'}f(q')\int_{\tilde{q}}\langle q|\tilde{q}_L\rangle\langle\tilde{q}_L|q'\rangle \, d\tilde{q}_L\, dq' =\int_{q'}f(q')\,\delta(q-q')d q'$$

$$f(q)=\int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{q}_L\rangle \tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\,\tilde{q}_L\rangle \, d\tilde{q}_L$$

Rechts orientierte Fourier Transformation
Ähnlich für die rechtsorientierte Fourier-Transformation

$$\tilde{f}_R(\tilde{q}_R)=\int\limits_{q} f(q)\langle q|\tilde{q}_R\rangle\, dq= \int\limits_{q} \langle f(q)^*\, q|\tilde{q}_R\rangle\, dq$$

$$f(q)= \int_{\tilde{q}} \tilde{f}_R(\tilde{q}_R)\langle \tilde{q}_R|q\rangle \, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}} \int_{q'} f(q')(\tilde{q}_R)\langle q'|\tilde{q}_R\rangle\langle\tilde{q}_R|q\rangle\,d\tilde{q}_L\, dq'=\int_{q'}f(q')\,\delta(q-q')d q'

$$

Fazit
Der zusätzliche Wert der rechtsorientierten und linksorientierten Fourier Transformationen ist gering. Die komplexe Zahl-basierte Fourier Transformation hat viel mehr Wert für die Spektralanalyse von Kontinuums. Doch diese Analysen beschränken sich dann pro Fall auf eine einzige Richtung ,

Wichtig ist die Tatsache, dass Fourier-Transformationspaare  $$\{f,\tilde{f}\}$$ beschreiben das gleiche Kontinuum $$\breve{f}$$.