Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/Fourier Transform/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

= Fourier Transformaties =

Fourier ruimtes
In een oneindig dimensionale Hilbertruimte, een Fourier-transformatie bewerkstelligt een volledige transformatie van een oude orthonormale basis  $$\{|q\rangle\}$$ naar een andere orthonormale basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$, zodanig dat geen van de nieuwe basisvectoren geschreven kan worden als een lineaire combinatie die niet alle oude basisvectoren bevat

De basisvector  $$|q\rangle$$ is eigenvector is van een normale operator $$|q\rangle\,q \,\langle q|$$ met eigenwaarden $$\{q\}$$. Basis $$\{|q\rangle\}$$ is orthonormaal.

$$\langle q|q' \rangle=\delta(q-q')$$

Ook de basisvector  $$|\tilde{q}\rangle$$is eigenvector is van een normale operator $$|\tilde{q}\rangle\,\tilde{q} \,\langle \tilde{q}|$$ met eigenwaarden $$\{\tilde{q}\}$$. Basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ is ook orthonormaal.

$$\langle \tilde{q}|\tilde{q}' \rangle=\delta(\tilde{q}-\tilde{q}')$$

Het inproduct $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$ is een functie van zowel de $$q$$ als de $$\tilde{q}$$ coördinaten

Vergeet niet dat de functie  $$f(q)$$ ten opzichte van een orthonormale basis  $$\{|q\rangle\}$$ met behulp van de corresponderende operator $$f$$ weergegeven kan worden als

$$f(q)=\langle q|f\, q\rangle$$

$$\tilde{f}(\tilde{q})=\langle \tilde{q}|\tilde{f}\, \tilde{q}\rangle$$

$$f(q) \Leftarrow \mathfrak{F}\Rightarrow \tilde{f}(\tilde{q})$$

$$f=|q\rangle\,f(q) \,\langle q|$$

$$\tilde{f}=|\tilde{q}\rangle\,\tilde{f}(\tilde{q}) \,\langle \tilde{q}|$$

$$\mathfrak{R}=|q\rangle\,q \,\langle q|$$

$$\tilde{\mathfrak{R}}=|\tilde{q}\rangle\,\tilde{q} \,\langle \tilde{q}|=|q\rangle\,\tilde{\mathfrak{R}}(q) \,\langle q|$$

Deze vergelijkingen beschrijven Fouriertransformatie paren $$\{f,\tilde{f}\}$$ en hetzelfde continuüm $$\breve{f}$$. Dat continuüm $$\breve{f}$$ wordt zowel voorgesteld door $$f(q)$$ als door $$\tilde{f}(\tilde{q})$$ en deze functies komen overeen met de operatoren $$f$$ en $$\tilde{f}$$. Op deze wijze beschrijven $$f(q)$$ en $$\tilde{f}(\tilde{q})$$ hetzelfde ding en dat is het continuüm $$\breve{f}$$.

Het inproduct $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$ is een functie die aan de volgende gevolgtrekkingen voldoet.
 * Convolutie van functies in de oude basis $$\{|q\rangle\}$$ representatie wordt vermenigvuldiging in de nieuwe basis $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ representatie.
 * Evenzo convolutie van functies in de nieuwe basis  $$\{|\tilde{q}\rangle\}$$ representatie wordt vermenigvuldiging in de oude basis $$\{|q\rangle\}$$ representatie.
 * Differentiatie in de oude basis representatie wordt vermenigvuldiging met de nieuwe coördinaat in de nieuwe basis representatie.
 * Evenzo wordt differentiatie in de nieuwe basis representatie vermenigvuldiging met de oude coördinaat in de oude basis representatie.

Inwendige producten
Onthoudt dat

$$\langle \alpha x | y\rangle=\alpha^* \langle x | y\rangle

$$

$$\langle x | \beta \,y\rangle=\langle x | y\rangle\,\beta

$$

Complexe Fourier transformatie
Fourier transformatie is goed bekend voor voor complexe functies. We zullen deze kennis toepassen door het opzetten van complexe parameter ruimten binnen de quaternionische achtergrondparameterruimte.

Als een $$x$$ axis as langs de genormaliseerde vector $$\vec{n}$$ door de quaternionische achtergrondparameterruimte wordt getrokken, dan gelden

$$\tilde{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi \vec{n} x \xi}\,dx$$

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(\xi)\ e^{2 \pi \vec{n} \xi x}\,d\xi$$

Hier speelt $$x$$ de rol van parameter $$q$$ langs richting $$\vec{n}$$ en speelt $$\xi$$ de rol van parameter $$\tilde{q}$$ langs richting $$\vec{n}$$.

Vector $$\vec{n}$$ kan in een willekeurige richting gekozen worden en kan op een willekeurige locatie in het quaternionische achtergrondparameterruimte aangrijpen,

Het inprodukt $$\langle q|\tilde{q} \rangle$$ heeft betrekking op een twee-parametrische functie die in de richting van $$\vec{n}$$ correspondeert met $$\langle x\vec{n}|\xi\vec{n}\rangle=\exp(2\pi x \vec{n}\xi)$$

Hier zijn $$f(x)$$ en $$\tilde f(\xi)$$ complexe functies met complex imaginaire basisgetal $$\vec{n}$$.

Quaternionische Fourier transformatie
Meer in het algemeen moet de specificatie van de quaternionische Fourier transformatie omgaan met het niet-commuteren van de vermenigvuldiging van quaternionische functies.

$$\langle x|{\color{Blue}{\tilde{f}}} y \rangle= \int\limits_{\tilde{q}} \langle x\color{Red}{|\tilde{q}\rangle }{\color{Blue}{\left\{\int\limits_{q}\langle \tilde{q}|q\rangle f(q) \langle q|\tilde{q}\rangle \, dq\right\}}} {\color{Red}{\langle \tilde{q}|}}\color{Black}{y\rangle\, d \tilde{q}} = \int\limits_{\tilde{q}} \langle x\color{Red}{|\tilde{q}\rangle } {\color{Blue}{\tilde{f}(\tilde{q})}}\langle \tilde{q}|\color{Black}{y\rangle\, d \tilde{q}}$$

$$\tilde{f}(\tilde{q})=\int\limits_{q}\langle \tilde{q}|q\rangle f(q) \langle q|\tilde{q}\rangle \, dq$$

We zien in de formules dat deze methode slechts een rotatie van parameterruimtes en functies tot stand brengt. In de op complexe getallen gebaseerd Hilbertruimte, zou het geen enkele verandering teweegbrengen. De Fourier transformatie installeert slechts een gedeeltelijke rotatie. Dit resulteert in een links en rechts georiënteerde Fourier-transformaties.

Links georiënteerde Fourier-transformatie
De links georiënteerde Fourier-transformatie $$\mathfrak{F}_L$$ heeft een inverse $$\mathfrak{F}_L^{-1}$$.

$$\tilde{f}=\mathfrak{F}_L(f)=|\tilde{q}\rangle\,\mathfrak{F}_L(f)(\tilde{q}) \,\langle \tilde{q}|$$

$$f=\mathfrak{F}_L^{-1}(\tilde{f})$$

De links georiënteerde Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:

$$\tilde{f}_L(\tilde{q}_L)=\int\limits_{q} \langle \tilde{q}_L|q\rangle f(q)\, dq =\int\limits_{q} \langle \tilde{q}_L| f(q)\,q\rangle\, dq$$

Voor twee leden $$|q\rangle$$ en $$|q'\rangle$$ van een orthonormale basis $$\{|q\rangle\}$$ geldt

$$\langle q|q'\rangle=\delta(q-q')$$

Voor twee leden $$|\tilde{q}_L\rangle$$ en $$|\tilde{q}'_L\rangle$$ van een orthonormale basis$$\{|\tilde{q}_L\rangle\}$$ geldt

$$\langle \tilde{q}_L|\tilde{q}_L'\rangle=\delta(\tilde{q}_L-\tilde{q}_L')$$

$$\int_{\tilde{q}_L} \langle q'|\tilde{q}_L\rangle\langle\tilde{q}_L|q\rangle \,d\tilde{q}_L=\delta(q-q')$$

$$\int_{q} \langle \tilde{q}'_L|q\rangle\langle q|\tilde{q}_L\rangle \,dq=\delta(\tilde{q}_L-\tilde{q}'_L)$$

De omgekeerde transformatie wordt gegeven door

$$f(q)=\int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{q}_L\rangle \tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}}\langle q|\tilde{q}_L\rangle\int_{q'}\langle\tilde{q}_L|q'\rangle f(q')\, dq'\, d\tilde{q}_L = \int_{q'}f(q')\int_{\tilde{q}}\langle q|\tilde{q}_L\rangle\langle\tilde{q}_L|q'\rangle \, d\tilde{q}_L\, dq' =\int_{q'}f(q')\,\delta(q-q')d q'$$

$$f(q)=\int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{q}_L\rangle \tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}} \langle q|\tilde{f}_L(\tilde{q}_L)\,\tilde{q}_L\rangle \, d\tilde{q}_L$$

Rechts georiënteerde Fourier-transformatie
Hetzelfde geldt voor de rechts georiënteerde Fourier-transformatie

$$\tilde{f}_R(\tilde{q}_R)=\int\limits_{q} f(q)\langle q|\tilde{q}_R\rangle\, dq= \int\limits_{q} \langle f(q)^*\, q|\tilde{q}_R\rangle\, dq$$

$$f(q)= \int_{\tilde{q}} \tilde{f}_R(\tilde{q}_R)\langle \tilde{q}_R|q\rangle \, d\tilde{q}_L= \int_{\tilde{q}} \int_{q'} f(q')(\tilde{q}_R)\langle q'|\tilde{q}_R\rangle\langle\tilde{q}_R|q\rangle\,d\tilde{q}_L\, dq'=\int_{q'}f(q')\,\delta(q-q')d q'

$$

Conclusie
De toegevoegde waarde van de rechter en linker georiënteerde Fourier transformaties is laag. De op complex getallen gebaseerde Fourier-transformatie heeft voor de spectrale analyse van continuüms een veel grotere waarde. Dan moet de analyse wel tot één enkele richting per onderzoek beperkt worden,

Belangrijk is het feit dat de Fourier-transformatie-paren $$\{f,\tilde{f}\}$$ hetzelfde continuüm $$\breve{f}$$ beschrijven.