User:Eml4500.f08.bottle.brockmiller/hw3

Prove that $$\  \mathbf{k}^{(e)} = \mathbf{T}^{(e)T} \mathbf{\hat{k}}^{(e)} \mathbf{T}^{(e)}  $$  is true by multiplying right hand side of the equation.

$$\ \mathbf{T}^{(e)} $$ is defined in class as $$\ \begin{bmatrix} l^{(e)}&m^{(e)}&0&0\\0&0&l^{(e)}&m^{(e)} \end{bmatrix}_{2x4} $$

$$\ \mathbf{\hat{k}}^{(e)}$$ is defined in class as $$\ \begin{Bmatrix} k&-k\\-k&k\end{Bmatrix}_{2x2}$$

$$\ \mathbf{T}^{(e)T} $$ is the transpose of $$\ \mathbf{T}^{(e)}_, $$ where $$\ \mathbf{T}^{(e)T}_{ij} = \mathbf{T}^{(e)}_{ji} $$ from $$\ 1 \le i \le n_, \ 1 \le j \le m $$ for matrix $$\ \mathbf{T}^{(e)}$$  of dimensions $$\ n * m $$

Therefore, $$\ \mathbf{T}^{(e)T} = \begin{bmatrix} l^{(e)}&0\\m^{(e)}&0\\0&l^{(e)}\\0&m^{(e)} \end{bmatrix}_{4x2} $$

$$\ \mathbf{T}^{(e)T}*\mathbf{\hat{k}}^{(e)}= \begin{bmatrix} l^{(e)}*k^{(e)}&-l^{(e)}*k^{(e)}\\m^{(e)}*k^{(e)}&-m^{(e)}*k^{(e)}\\-l^{(e)}*k^{(e)}&l^{(e)}*k^{(e)}\\-m^{(e)}*k^{(e)}&m^{(e)}*k^{(e)} \end{bmatrix}_{4x2} $$

$$\ \mathbf{T}^{(e)T}*\mathbf{\hat{k}}^{(e)}*\mathbf{T}^{(e)}= \begin{bmatrix} l^{(e)}*l^{(e)}*k^{(e)}&l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&-l^{(e)}*l^{(e)}*k^{(e)}&-l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}\\l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&m^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&-l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&-m^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}\\-l^{(e)}*l^{(e)}*k^{(e)}&-l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&l^{(e)}*l^{(e)}*k^{(e)}&l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}\\-l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&-m^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&l^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)}&m^{(e)}*m^{(e)}*k^{(e)} \end{bmatrix}_{4x4} $$

Bringing out the $$\ k^{(e)} $$ and combining common terms gives $$\ \mathbf{T}^{(e)T}*\mathbf{\hat{k}}^{(e)}*\mathbf{T}^{(e)}= k^{(e)}\begin{bmatrix} (l^{(e)})^2&l^{(e)}*m^{(e)}&-(l^{(e)})^2&-l^{(e)}*m^{(e)}\\l^{(e)}*m^{(e)}&(m^{(e)})^2&-l^{(e)}*m^{(e)}&-(m^{(e)})^2\\-(l^{(e)})^2&-l^{(e)}*m^{(e)}&(l^{(e)})^2&l^{(e)}*m^{(e)}\\-l^{(e)}*m^{(e)}&-(m^{(e)})^2&l^{(e)}*m^{(e)}&(m^{(e)})^2 \end{bmatrix}_{4x4} $$

This is equivalent to the $$\ \mathbf{k}^{(e)} $$ given in class.

Therefore, $$\ \mathbf{f}^{(e)}=\mathbf{k}^{(e)}\mathbf{d}^{(e)} $$ can be written as

$$\ \mathbf{f}^{(e)}=\mathbf{T}^{(e)T}\mathbf{\hat{k}}^{(e)}\mathbf{T}^{(e)}\mathbf{d}^{(e)} $$