User:Eml4500.f08.bottle.ranto/HW4

HW Problem. Prove that $$ k^{(e)} = T^{(e)^{T}} \hat{k}^{(e)} T^{(e)} $$

Where

$$ \textbf{k}^{(e)}= \left[ \begin{array}{cccc} l_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & -l_{s}^{2} & -l_{s}m_{s} \\ l_{s}m_{s} & m_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & -m_{s}^{2} \\ -l_{s}^{2} & -l_{s}m_{s} & l_{s}^{2} & l_{s}m_{s} \\ -l_{s}m_{s} & -m_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & m_{s}^{2} \end{array} \right]$$

As given in the notes above

$$ \textbf{T}^{(e)^{T}} = \left [ \begin{array}{cccc} l_{s}^{(e)} & 0 \\ m_{s}^{(e)} & 0 \\ 0 & l_{s}^{(e)} \\ 0 & m_{s}^{(e)} \end{array} \right] $$

and

$$ \hat\textbf{k}^{(e)} = \left [ \begin{array}{cccc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right] $$

Therefore

$$ \hat\textbf{k}^{(e)}\textbf{T}^{(e)} = \left [ \begin{array}{cccc} l_{s}^{(e)} & m_{s}^{(e)} & -l_{s}^{(e)} & -m_{s}^{(e)} \\ -l_{s}^{(e)} & -m_{s}^{(e)} & l_{s}^{(e)} & m_{s}^{(e)} \end{array} \right] $$

Finally, multiplying by $$ T^{(e)^{T}} $$ gives

$$ \left[ \begin{array}{cccc} l_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & -l_{s}^{2} & -l_{s}m_{s} \\ l_{s}m_{s} & m_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & -m_{s}^{2} \\ -l_{s}^{2} & -l_{s}m_{s} & l_{s}^{2} & l_{s}m_{s} \\ -l_{s}m_{s} & -m_{s}^{2} & l_{s}m_{s} & m_{s}^{2} \end{array} \right]$$