User:Eml4500.f08.delta 6.ramirez/matrix proof

Note: Since the inverse of T(e) cannot be used the transpose is utilized. The following demonstrates that both sides are equal.

$$k^{(e)}= T^{(e)T}\hat{k}^{(e)} T^{(e)}$$

$$k^{(e)} = k_{(e)}\begin{bmatrix} l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)}\\ l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} \\ -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)}\\ -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} \end{bmatrix}$$ where,

$$k_{(e)} = \frac{E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}$$

thus,

$$k_{(e)}\begin{bmatrix} l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)}\\ l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} \\ -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)}\\ -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} \end{bmatrix} = T^{(e)T}\hat{k}^{(e)} T^{(e)}$$

To prove that both sides are equal, the matrices must be multiplied in the correct order. The matrices are given as:

$$ T^{(e)T} = \begin{bmatrix} l^{(e)} & 0 \\ m^{(e)} & 0\\ 0 & l^{(e)}\\ 0 & m^{(e)} \end{bmatrix} $$

$$\hat{k}^{(e)} = k_{(e)}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$T^{(e)} = \begin{bmatrix} l^{(e)} & m^{(e)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & l^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix}$$

Multiplying out the first two matrices gives:

$$T^{(e)T}\hat{k}^{(e)} = \begin{bmatrix} l^{(e)} & 0 \\ m^{(e)} & 0\\ 0 & l^{(e)}\\ 0 & m^{(e)} \end{bmatrix} k_{(e)}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix} = k_{(e)} \begin{bmatrix} l^{(e)} & -l^{(e)}\\ m^{(e)} & -m^{(e)}\\ -l^{(e)} & l^{(e)}\\ -m^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix}$$

Taking the result from this and now multiplying it by the third matrix T(e) gives:

$$k_{(e)} \begin{bmatrix} l^{(e)} & -l^{(e)}\\ m^{(e)} & -m^{(e)}\\ -l^{(e)} & l^{(e)}\\ -m^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix} T^{(e)} = k_{(e)} \begin{bmatrix} l^{(e)} & -l^{(e)}\\ m^{(e)} & -m^{(e)}\\ -l^{(e)} & l^{(e)}\\ -m^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l^{(e)} & m^{(e)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & l^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix} = k_{(e)}\begin{bmatrix} l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)}\\ l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} \\ -l^{(e)2} & -l^{(e)}m^{(e)} & l^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)}\\ -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)2} & l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)2} \end{bmatrix} $$

Observation: both sides are equal.