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Monday Sept 22
Derivation of element FD with respect to global coordinate system:

$$\mathbf{k}_{4x4}^{(e)}\mathbf{d}_{4x1}^{(e)}=\mathbf{f}_{4x1}^{(e)}$$  (Equation 1)

This can equivalently be expressed in the following figure.



In matrix terms this is:

$$k^{(e)}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} q_1^{(e)} \\ q_2^{(e)} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} P_1^{(e)} \\ P_2^{(e)} \end{Bmatrix}$$  (Equation 2)

In short:

$$\hat{\mathbf{k}}_{2x2}^{(e)}\mathbf{q}_{2x1}^{(e)}=\mathbf{P}_{2x1}^{(e)}$$

$$q_i^{(e)}=$$ axial displacement of element e at local node i

$$P_i^{(e)}=$$ axial force of element e at local node i

Goal: Derive Equation 1 from Equation 2. This can be done with the help of previous notes.

The k matrix can be found using the theta's.

$$\mathbf{k^{(e)}}=k^{(e)} \begin{bmatrix} l^{(e)^2} & l^{(e)}m^{(e)} & -l^{(e)^2} & -l^{(e)}m^{(e)} \\l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)^2} & -l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)^2} \\-l^{(e)^2} & -l^{(e)}m^{(e)} & l^{(e)^2} & l^{(e)}m^{(e)} \\-l^{(e)}m^{(e)} & -m^{(e)^2} & l^{(e)}m^{(e)} & m^{(e)^2}\end{bmatrix}$$

Where: $$l_{ }^{(e)}=cos( \theta^{(e)})$$

$$m_{ }^{(e)}=sin( \theta^{(e)})$$

Next, the 4x1 distance matrix can be found using trigonometry.

$$\mathbf{d}_{4x1}^{(e)}=\begin{Bmatrix} d_1^{(e)} \\ d_2^{(e)} \\ d_3^{(e)} \\ d_4^{(e)} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} q_1^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ q_1^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \\ q_2^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ q_2^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \end{Bmatrix}$$

Similarly, the 4x1 force matrix can be derived.

$$\mathbf{f}_{4x1}^{(e)}=\begin{Bmatrix} f_1^{(e)} \\ f_2^{(e)} \\ f_3^{(e)} \\ f_4^{(e)} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} P_1^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ P_1^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \\ P_2^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ P_2^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \end{Bmatrix}$$

Therefore the result is:

$$k^{(e)}\begin{bmatrix} cos( \theta^{(e)})^2 & cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & -cos( \theta^{(e)})^2 & -cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) \\cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & sin( \theta^{(e)})^2 & -cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & -sin( \theta^{(e)})^2 \\-cos( \theta^{(e)})^2 & -cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & cos( \theta^{(e)})^2 & cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) \\-cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & -sin( \theta^{(e)})^2 & cos( \theta^{(e)})sin( \theta^{(e)}) & sin( \theta^{(e)})^2\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} q_1^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ q_1^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \\ q_2^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ q_2^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} P_1^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ P_1^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \\ P_2^{(e)}\cdot cos\theta_1^{(e)} \\ P_2^{(e)}\cdot sin\theta_1^{(e)} \end{Bmatrix}$$

These relations can be expressed in the form:

$$\mathbf{q}_{2x1}^{(e)}=\mathbf{T}_{2x4}^{(e)}\mathbf{d}_{4x1}^{(e)}$$

Consider the displacement vector of local node 1, denoted by $$d_1^{(2)}$$:



$$\vec{d}_1^{(e)}=d_1^{(e)}\vec{i}+d_2^{(e)}\vec{j}$$

$$q_1^{(e)}=$$ axial displacement of node 1 is the orthogonal projection of the displacement

Vector $$\vec{d}_1^{(e)}$$ of node 1 on the axes $$\tilde{x}$$ of element e:

$$\Rightarrow q_1^{(e)}=\vec{d}_1^{(e)}\cdot\vec{i}=(d_1^{(e)}\vec{i}+d_2^{(e)}\vec{j})\cdot\vec{\tilde{i}}=d_1^{(e)}(\vec{i}\cdot\vec{\tilde{i}})+d_2^{(e)}(\vec{j}\cdot\vec{\tilde{i}})=d_1^{(e)}\cdot cos\theta^{(e)}+d_2^{(e)}\cdot sin\theta^{(e)}=d_1^{(e)}\cdot l^{(e)}+d_2^{(e)}\cdot m^{(e)}$$

$$\mathbf{q}_1^{(e)}=l^{(e)}\cdot d_1^{(e)}+m^{(e)}\cdot d_2^{(e)}=\begin{bmatrix} l^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} d_1^{(e)} \\ d_2^{(e)} \end{Bmatrix}$$

Similarly for node 2:

$$\Rightarrow q_2^{(e)}=\vec{d}_3^{(e)}\cdot\vec{i}=(d_3^{(e)}\vec{i}+d_4^{(e)}\vec{j})\cdot\vec{\tilde{i}}=d_3^{(e)}(\vec{i}\cdot\vec{\tilde{i}})+d_4^{(e)}(\vec{j}\cdot\vec{\tilde{i}})=d_3^{(e)}\cdot cos\theta^{(e)}+d_4^{(e)}\cdot sin\theta^{(e)}=d_3^{(e)}\cdot l^{(e)}+d_4^{(e)}\cdot m^{(e)}$$

$$\mathbf{q}_2^{(e)}=l^{(e)}\cdot d_3^{(e)}+m^{(e)}\cdot d_4^{(e)}=\begin{bmatrix} l^{(e)} & m^{(e)} \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} d_3^{(e)} \\ d_4^{(e)} \end{Bmatrix}$$

Combining:

$$\mathbf{q}_{2x1}^{(e)}=\mathbf{T}_{2x4}^{(e)}\mathbf{d}_{4x1}^{(e)}$$

$$\begin{Bmatrix} q_1^{(e)} \\ q_2^{(e)} \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} l^{(e)} & m^{(e)} & 0 & 0\\0 & 0 & l^{(e)} & m^{(e)}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} d_1^{(e)} \\ d_2^{(e)} \\ d_3^{(e)} \\ d_4^{(e)}\end{Bmatrix}$$