User:Eml5526.s11.team4.yang/hw6

=HW 6.1 problem: Solving G1DM1.0/D1 using QLEBF=

Problem Statement
Similar to HW5.{1,3,7},but using QLEBF with uniform discretization(equidistant element nodes),nel=2,4,6,8... 1). For nel=2, comp $$\tilde{K}=\sum\limits_{e=1}^{2}$$ ,with by (1)p30.5,display $${{\tilde{K}}^{e}}$$, e=1,2 2). comp $${{k}^{e}}$$ , $${{L}^{e}}$$, for e=1,2 3).comp $${{{\tilde{K}}}^{e}}={{L}^{e}}^{T}{{k}^{e}}{{L}^{e}}$$, for e=1,2. compare to 1). 4).plot all QLEBF for nel=3. 5).plot $$\displaystyle {{u}^{h}}$$ vs $$\displaystyle u$$, $$\displaystyle \left[ u_{nel}^{h}(0.5)-u(0.5) \right]$$ vs number of element

solution
1.For nel=2, comp $$\tilde{K}=\sum\limits_{e=1}^{2}$$ ,with by (1)p30.5,display $${{\tilde{K}}^{e}}$$, e=1,2 e=1: $${{{\tilde{K}}}^{1}}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\  {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\ \end{matrix} \right]$$ e=2: $${{{\tilde{K}}}^{2}}=\left[ \begin{matrix} { 0} & {0} & {0} & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} &   {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334}  \\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$ Then,sum on e=1,2:

$$\tilde{K}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\  {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {32.666666666666664}  &{-20.666666666666668} & {2.833333333333334}\\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$

2.comp $${{k}^{e}}$$ , $${{L}^{e}}$$, for e=1,2 e=1:

$${{k}^{1}}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} \\   {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668}  \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  \\ \end{matrix} \right]$$

$${{L}^{1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 1 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right]$$

e=2:

$${{k}^{2}}=\left[ \begin{matrix} {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334} \\   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$

$${{L}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\   0 & 0 & 0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right]$$

3.comp $${{{\tilde{K}}}^{e}}={{L}^{e}}^{T}{{k}^{e}}{{L}^{e}}$$, for e=1,2. compare to 1). e=1: $${{{\tilde{K}}}^{1}}=\left[ \begin{matrix}  {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\   {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\ \end{matrix} \right]$$ e=2: $${{{\tilde{K}}}^{2}}=\left[ \begin{matrix}   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} &   {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334}  \\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$ Compare with result on 1), we can see that the result is the same by using these two methods. 4.plot all QLEBF for nel=3 5.plot $$\displaystyle {{u}^{h}}$$ vs $$\displaystyle u$$,when number of element is 2,3,4,6,respectively. plot $$\displaystyle \left[ u_{nel}^{h}(0.5)-u(0.5) \right]$$ vs number of element

The error at x=0.5 can be listed in the following table: From the table, it can be found that the error will be lower than 10^(-6) when the number of elements is greater than n=14.

This problem was solved by shengfeng yang

=HW 6.2 problem: Solving G1DM1.0/D1b using QLEBF=

Problem Statement
Similar to HW5.{2,4,8},but using QLEBF with uniform discretization(equidistant element nodes),nel=2,4,6,8... 1). For nel=2, comp $$\tilde{K}=\sum\limits_{e=1}^{2}$$ ,with by (1)p30.5,display $${{\tilde{K}}^{e}}$$, e=1,2 2). comp $${{k}^{e}}$$ , $${{L}^{e}}$$, for e=1,2 3).comp $${{{\tilde{K}}}^{e}}={{L}^{e}}^{T}{{k}^{e}}{{L}^{e}}$$, for e=1,2. compare to 1). 4).plot all QLEBF for nel=3. 5).plot $$\displaystyle {{u}^{h}}$$ vs $$\displaystyle u$$, $$\displaystyle \left[ u_{nel}^{h}(0.5)-u(0.5) \right]$$ vs number of element

solution
1.For nel=2, comp $$\tilde{K}=\sum\limits_{e=1}^{2}$$ ,with by (1)p30.5,display $${{\tilde{K}}^{e}}$$, e=1,2 e=1: $${{{\tilde{K}}}^{1}}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\  {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\ \end{matrix} \right]$$ e=2: $${{{\tilde{K}}}^{2}}=\left[ \begin{matrix} { 0} & {0} & {0} & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} &   {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334}  \\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$ Then,sum on e=1,2:

$$\tilde{K}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\  {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {32.666666666666664}  &{-20.666666666666668} & {2.833333333333334}\\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$

2.comp $${{k}^{e}}$$ , $${{L}^{e}}$$, for e=1,2 e=1:

$${{k}^{1}}=\left[ \begin{matrix} {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} \\   {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668}  \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  \\ \end{matrix} \right]$$

$${{L}^{1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 1 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right]$$

e=2:

$${{k}^{2}}=\left[ \begin{matrix} {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334} \\   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$

$${{L}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\   0 & 0 & 0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right]$$

3.comp $${{{\tilde{K}}}^{e}}={{L}^{e}}^{T}{{k}^{e}}{{L}^{e}}$$, for e=1,2. compare to 1). e=1: $${{{\tilde{K}}}^{1}}=\left[ \begin{matrix}  {10.833333333333334} & {-12.666666666666666} & {1.833333333333333} & {0} & {0} \\   {-12.666666666666666} & {29.333333333333332} & {-16.666666666666668} & {0} & {0} \\   { 1.833333333333333} & {-16.666666666666668} & {14.833333333333334}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\ \end{matrix} \right]$$ e=2: $${{{\tilde{K}}}^{2}}=\left[ \begin{matrix}   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} & {0}  & {0} & {0}\\   { 0} & {0} &   {17.833333333333332} & {-20.666666666666668} & {2.833333333333334}  \\   { 0} & {0} &   {-20.666666666666668} & { 45.333333333333336} & {-24.666666666666668}  \\   { 0} & {0} &   { 2.833333333333334} & {-24.666666666666668} & {21.833333333333332}  \\ \end{matrix} \right]$$ Compare with result on 1), we can see that the result is the same by using these two methods. 4.plot all QLEBF for nel=3 5.plot $$\displaystyle {{u}^{h}}$$ vs $$\displaystyle u$$,when number of element is 2,3,4,6,10,respectively.

plot $$\displaystyle \left[ u_{nel}^{h}(0.5)-u(0.5) \right]$$ vs number of element

The error at x=0.5 can be listed in the following table: From the table, it can be found that the error will be lower than 10^(-6) when the number of elements is greater than n=8.

This problem was solved by shengfeng yang